Modeling στα μαθηματικά είναι εκείνη η διαδικασία κατά την οποία χρησιμοποιούμε διάφορες μαθηματικές δομές, για παράδειγμα γράφους, διαγράμματα, μεταβλητές, εξισώσεις κι άλλα, για να αναπαραστήσουμε κάποιες κατάστασεις από την πραγματική ζωή.
Με άλλα λόγια, το modeling είναι ένα στάδιο της επίλυσης προβλημάτων :
μια εκφώνηση περιγράφει με φυσική γλώσσα την κατάσταση που αντιμετωπίζουμε (δεδομένα, σχέσεις κλπ), κι εμείς προσπαθούμε με τη βοήθεια μαθηματικών δομών να την "μεταφράσουμε" σε μαθηματική γλώσσα (μοντελοποίηση - μαθηματικό μοντέλο).
Έτσι, τις περισσότερες φορές, το πρόβλημά μας θα πάρει μια αλγεβρική μορφή όπως πχ γραμμική εξίσωση, σύστημα γραμμικών εξισώσεων, κλασματική εξίσωση, δευτεροβάθμια εξίσωση κι άλλα.
Δείτε επίσης :
Σας παραθέτουμε μια συλλογή από προβλήματα τα οποία αναρτούμε στο Facebook και φίλοι της σελίδας συμμετέχουν λύνοντάς τα και δίνοντας απαντήσεις.
Ο Ευάγγελος τρώει μια μεγάλη σαλάτα σε 15 λεπτά.
Ο Θεόδωρος μπορεί να φάει την ίδια σαλάτα σε 10 λεπτά.
Σε πόσα λεπτά θα τελειώσει η σαλάτα αν τη φάνε μαζί ;
Δύο λαγουδάκια (Α και Β), αν δουλέψουν μαζί, "αδειάζουν" ένα μικρό περιβόλι με καρότα, σε 6 λεπτά.
Αν δουλέψει μόνο το λαγουδάκι Α, τότε χρειάζονται 5 λεπτά περισσότερα από όσα χρειάζονται για να το "αδειάσει" μόνο του το λαγουδάκι Β.
Να βρεθεί σε πόσα λεπτά, κάθε ένα λαγουδάκι αδειάζει μόνο του το περιβόλι.
Σε ένα πασχαλινό τραπέζι κάθονται 9 άτομα.
Πόσα κόκκινα αυγά θα χρειαστούν για να τσουγκρίσουν όλοι μεταξύ τους ;
5 άνθρωποι καθαρίζουν 15 σπασμένα κόκκινα αυγά σε 15 λεπτά.
Πόσοι άνθρωποι καθαρίζουν 45 σπασμένα κόκκινα αυγά σε 45 λεπτά ;
Σε μία σχολική γιορτή έγινε ανταλλαγή δώρων μεταξύ των μαθητών.
Κάθε μαθητής προσέφερε ένα δώρο σε κάθε έναν από τους συμμαθητές του.
Τα δώρα ήταν 156.
Πόσοι ήταν οι μαθητές ;
Στο πρωτάθλημα ποδοσφαίρου μιας χώρας κάθε ομάδα έδωσε με όλες τις υπόλοιπες ομάδες δύο αγώνες (εντός και εκτός έδρας).
Αν έγιναν συνολικά 240 αγώνες, πόσες ήταν οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα; Απάντηση
Ένα σφυρί κι ένα καρφί στοιχίζουν 1,10 ευρώ.
Το σφυρί στοιχίζει 1 ευρώ περισσότερο από το καρφί.
Πόσο στοιχίζει το καρφί ;
Σε ένα κήπο υπάρχουν 2 δέντρα (δέντρο “Α” και δέντρο “Β”) στα οποία κάθονται παπαγαλάκια.
Τα παπαγαλάκια από το δέντρο Α λένε στα παπαγαλάκια του δέντρου Β : “Αν ένα από εσάς έρθει στο δέντρο μας, τότε θα είμαστε διπλάσια σε πλήθος από εσάς”.
Μετά, τα παπαγαλάκια από το δέντρο Β λένε στα παπαγαλάκια του δέντρου Α : “Αν ένα από εσάς έρθει στο δέντρο μας, τότε θα είμαστε ίσα σε πλήθος με εσάς”.
Πόσα παπαγαλάκια έχει το κάθε δέντρο ; Απάντηση
Ένα αγρόκτημα οργώνεται από δύο τρακτέρ Α και Β, αν δουλέψουν συγχρόνως, σε 6 ώρες.
Αν οργώσει το κτήμα μόνο το τρακτέρ Α τότε χρειάζονται 5 ώρες περισσότερες, από όσες χρειάζονται, για να το οργώσει το τρακτέρ Β.
Να βρεθεί σε πόσες ώρες καθένα τρακτέρ οργώνει μόνο του το αγρόκτημα. Απάντηση
Μια πιτσαρία σερβίρει δύο είδη πίτσας ίδιου πάχους αλλά διαφορετικού μεγέθους.
Η μικρή πίτσα έχει διάμετρο 30 εκατοστά και στοιχίζει 3 ευρώ.
Η μεγάλη πίτσα έχει διάμετρο 40 εκατοστά και στοιχίζει 4 ευρώ.
α) Μας συμφέρει να αγοράσουμε την μικρή πίτσα;
β) Μας συμφέρει να αγοράσουμε την μεγάλη πίτσα;
γ) Δεν έχει σημασία ποια πίτσα θα αγοράσουμε.
Βάζουμε μαρμελάδα, πραλίνα φουντουκιού ή μέλι σε φέτες ψωμιού με αναλογία 5 προς 7 προς 8 αντίστοιχα (ένα είδος μόνο σε κάθε φέτα ψωμιού).
Αν οι φέτες ψωμιού είναι 120 στο σύνολο, σε πόσες βάλαμε πραλίνα φουντουκιού ;
α) 15
β) 30
γ) 38
δ) 42
ε) 48
Δύο άνθρωποι ξεκινούν από το ίδιο σημείο, περπατούν σε αντίθετες κατευθύνσεις για 4 μέτρα, στρίβουν αριστερά και περπατούν άλλα 3 μέτρα.
Ποια είναι η μεταξύ τους απόσταση ;
8 άνθρωποι συναντιούνται σε ένα γεύμα.
Κάθε ένας κάνει χειραψία μία φορά με όλους τους υπόλοιπους που είναι παρόντες.
Πόσες χειραψίες έγιναν ;
1 εισιτήριο στοιχίζει 1,40 ευρώ και ισχύει για διαδρομή μέγιστης διάρκειας 90 λεπτών.
Πόσο στοιχίζει ένα εισιτήριο για διαδρομή μέγιστης διάρκειας 70 λεπτών ;
Σε ένα τμήμα 30 μαθητών, 17 μαθητές ασχολούνται με το μπάσκετ, 19 μαθητές με το ποδόσφαιρο και 2 μαθητές δεν ασχολούνται με κανένα από αυτά.
Πόσοι μαθητές ασχολούνται και με τα δύο αθλήματα ;
α) 7
β) 8
γ) 9
δ) 10
ε) 11
Ένας δίσκος σερβιρίσματος με σοκολατάκια ζυγίζει 2 κιλά.
Όταν μοιράσουμε τα 3/4 από τα σοκολατάκια, ο δίσκος με τα υπόλοιπα σοκολατάκια ζυγίζει 0.8 κιλά.
Ποιο είναι το βάρος του δίσκου (όταν είναι άδειος) ;
α) 0.2
β) 0.3
γ) 0.4
δ) 0.5
ε) 0.6
Σε κάποιες δημοτικές εκλογές ο υποψήφιος Α έλαβε κατά 1/3 περισσότερους ψήφους από τον υποψήφιο Β.
Ο υποψήφιος Β έλαβε κατά 1/4 λιγότερους ψήφους από τον υποψήφιο Γ.
Αν ο υποψήφιος Γ έλαβε 24.000 ψήφους, πόσους ψήφους έλαβε ο υποψήφιος Α ;
α) 18.000
β) 22.000
γ) 24.000
δ) 26.000
ε) 32.000
Μια συλλογή νομισμάτων αποτελείται από νομίσματα διαφορετικών διαμέτρων.
Το μικρότερο νόμισμα της συλλογής έχει διάμετρο 15 χιλιοστά.
Κάθε επόμενο νόμισμα είναι τουλάχιστο κατά 30% μεγαλύτερο σε διάμετρο.
Η διάμετρος όλων των νομισμάτων είναι ολόκληρος (ακέραιος) αριθμός χιλιοστών και δεν υπάρχει νόμισμα με διάμετρο μεγαλύτερη από 45 χιλιοστά.
Από πόσα νομίσματα αποτελείται η συλλογή ;
α) 4
β) 5
γ) 6
δ) 7
ε) 8
Σε μία τάξη 78 μαθητών, 41 μαθαίνουν Γαλλικά και 22 μαθαίνουν Γερμανικά.
Από αυτούς τους μαθητές που μαθαίνουν Γαλλικά ή Γερμανικά, 9 μαθαίνουν και τις δύο γλώσσες.
Πόσοι μαθητές δεν μαθαίνουν καμία από τις δύο γλώσσες ;
α) 6
β) 15
γ) 24
δ) 33
ε) 54
Σε ένα τμήμα 27 μαθητών, 14 έχουν ρολόι και 8 έχουν γυαλιά.
Από αυτούς τους μαθητές που έχουν ρολόι ή γυαλιά, 3 έχουν και τα δύο.
Πόσοι μαθητές δεν έχουν ούτε ρολόι ούτε γυαλιά ;
α) 2
β) 5
γ) 8
δ) 12
ε) 19
Μία μπάλα πέφτει από ψηλά και αναπηδώντας στο έδαφος επιστρέφει στα 2/5 του ύψους που είχε στην προηγούμενη αναπήδηση.
Μετά την πρώτη αναπήδηση φτάνει τα 125 εκατοστά.
Πόσο ψηλά (σε εκατοστά) θα φτάσει μετά την τέταρτη αναπήδηση;
α) 20
β) 15
γ) 8
δ) 5
ε) 3,2
Στην αρχική τιμή ενός tablet γίνεται μία έκπτωση 10%.
Στη μειωμένη τιμή γίνεται δεύτερη έκπτωση 10%.
Οι δύο διαδοχικές εκπτώσεις είναι ισοδύναμες με μία έκπτωση
α) 20%
β) 19%
γ) 18%
δ) 11%
ε) 10%
4 γάτες πιάνουν 4 ποντίκια σε 4 λεπτά.
Πόσες γάτες πιάνουν 14 ποντίκια σε 14 λεπτά ;
Σε ένα τηλεπαιχνίδι υπάρχουν 3 κλειστές πόρτες.
Πίσω από τη μία υπάρχει ένα αυτοκίνητο, ενώ οι άλλες δύο έχουν από ένα πατίνι.
Επιλέγετε μία πόρτα και ο παρουσιαστής του παιχνιδιού, ο οποίος γνωρίζει τι υπάρχει πίσω από κάθε μία πόρτα, ανοίγει μία από τις άλλες δύο, αποκαλύπτοντας το ένα πατίνι.
Έχουν μείνει, λοιπόν, δύο κλειστές πόρτες: η μία με το αυτοκίνητο και η άλλη με το δεύτερο πατίνι.
Ο παρουσιαστής σας δίνει νέα ευκαιρία επιλογής.
Τι πιστεύετε ότι είναι καλύτερο: να μείνετε στην αρχική σας επιλογή ή να αλλάξετε ;
Έχουμε 3 κλειστά σακιά, καθένα από τα οποία έχει μια ετικέτα.
Οι ετικέτες γράφουν “ΦΟΥΝΤΟΥΚΙΑ”, “ΑΜΥΓΔΑΛΑ”, “ΦΟΥΝΤΟΥΚΙΑ ΚΑΙ ΑΜΥΓΔΑΛΑ”.
Γνωρίζουμε ότι και οι 3 ετικέτες είναι τοποθετημένες λάθος.
Πως μπορούμε να τοποθετήσουμε τις ετικέτες σωστά επιλέγοντας μόνο ένα καρπό από ένα μόνο σακί ; Απάντηση
(Δεν μπορούμε να δούμε μέσα στα σακιά, ούτε να ψάξουμε)
Ένας θείος θέλει να μοιράσει ένα ποσό στους τρεις ανηψιούς του (Αλέξανδρο, Βαγγέλη, Γιώργο), άνισα, ανάλογα προς τους αριθμούς 7, 6 και 5. Στη συνέχεια, αποφάσισε να αλλάξει τα μερίδια και να μοιράσει το ποσό ανάλογα προς τους αριθμούς 6, 5 και 4.
α) Ποιος από τους ανηψιούς κερδίζει με τη νέα μοιρασιά; Ποιος χάνει;
β) Ένας από τους ανηψιούς κερδίζει με τη δεύτερη μοιρασιά 6.000 ευρώ περισσότερο απ’ ότι κερδίζει με την πρώτη. Πόσο ήταν το αρχικό ποσό και πόσο κάθε μερίδιο με τη δεύτερη μοιρασιά;
