Μετακινήστε τα άκρα του διαστήματος [α,β], έτσι ώστε να ισχύει f(α) = f(β) (υπάρχουν αρκετά τέτοια ζεύγη τιμών α, β στην περιοχή της γραφικής παράστασης που μελετάμε).
Θα αποκαλυφθούν κάποια σημεία στον άξονα x'x και στη γραφική παράσταση της f ' (x) = g(x).
Μετακινήστε το σημείο της f ' (x) = g(x) ( το οποίο έχε τετμημένη ξ1,2 ). Παρατηρήστε ότι η τεταγμένη του (η τιμή δίπλα στο διακεκομμένο τμήμα), είναι πάντα ίση με την κλίση της εφαπτομένης στο αντίστοιχο σημείο της f(x) ( δηλαδή με τετμημένη ξ1,2 ).
Όταν το σημείο περάσει από το σημείο τομής της f ' (x) = g(x) με τον άξονα x'x, η εφαπτομένη της f(x) είναι παράλληλη στον άξονα x'x ( f ' (x) =0 ).
Διατύπωση Θεώρημα Rolle (video παρουσίαση)
Θεώρημα Rolle - Java Applet (GeoGebra)(1)
Αφού ισχύει f(α) = f(β) , η κλίση της ευθείας ΑΒ είναι επίσης μηδέν.
Για τη γενική περίπτωση , όπου δεν ισχύει η ισότητα μεταξύ των f(α) και f(β), προκύπτει το ΘΜΤ ( μεταβάλλετε τα άκρα του διαστήματος [α,β]).
